Fondamenti della meccanica atomica
II) la relazione (data dalle esperienze di diffrazione) tra lunghezza d'onda di De Broglie ed impulso delle particelle (v. § 33, p. I).
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(1) La forma della funzione che si addice a ciascun caso (ossia lo «stato» del sistema) dipende, come si vedrà meglio nel cap. II della parte III
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(regione II).
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L'equazione di Schrödinger sarà, nella regione I, ancora la (148), mentre nella regione II avrà la stessa forma salvo che in luogo di k vi figurerà
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(regione II)
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Consideriamo dunque separatamente le tre regioni (I, II, III): l'equazione di Schrödinger è, per le regioni I e III, la stessa (148) già studiata nel
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la curva nel tratto II è di tipo esponenziale (fig. 33). In entrambi i casi le curve delle tre regioni si raccordano con continuità, come mostrano le
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sinusoidale anche nel tratto II, ma con lunghezza d'onda maggiore che nei tratti I e III (fig. 32); nel secondo caso è immaginario e quindi
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k è reale): nel tratto II,
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Nella II regione la (299) si potrà anche scrivere (ponendo )
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regione II, attraverso il punto critico B: il collegamento può farsi con lo stesso metodo seguito per il punto A e si trova che la u, nella regione II
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(l) Si noti che questa definizione coincide con quella già data a 1 § 4 p. II per le autofunzioni normalizzate.
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Lo sviluppo di una funzione in serie di funzioni ortogonali (v. § 9, p. II) ha una notevole interpretazione nello spazio hilbertiano. Consideriamo
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Questa definizione di ortogonalità tra funzioni è già stata introdotta al § 5, p. II: ora si vede la ragione della denominazione. (Si noti che la
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, ossia è la componente di f secondo l'asse coordinato n-esimo. E allora lo sviluppo (31, p. II), che si può scrivere vettorialmente
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Un altro esempio notevole è l'operatore che figura nel primo membro dell'equazione di Schrödinger (131 ) p. II, la quale si può scrivere
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Come esempio notevole, si consideri l'operatore che intervenne al § 1, p. II, cioè A, B, C reali):
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, p. II).
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dove L funge da «parametro»: come si è visto al § 2, p. II esistono infinite soluzioni indipendenti (autofunzioni) f = a ciascuna delle quali
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(1) La dimostrazione di questo si fa per un o. l. generico (purchè hermitiano) come fu fatta al § 5 p. II per l'o. l. (47). Se e appartengono a due
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cioè a : si ritrova così la condizione di ortogonalità e normalizzazione introdotta al § 10 p. II.
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come mostra la (73). Inoltre le autofunzioni sono ortogonali e normalizzate perchè (v. § 10, p. II) detti due intervalli infinitesimi, si ha, come si
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funzione . Per esempio, la condizione di ortogonalità, e normalizzazione delle autofunzioni, espressa dalla (46) e dalla (46') del capitolo I, p. II
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spiegato nella nota al § 25 p. II. e la meccanica quantistica ha appunto per oggetto di determinare questi possibili risultati e le rispettive
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(2) Il concetto di probabilità si deve intendere qui precisato nel modo spiegato nella nota al § 25 p. II.
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(3) A rigore, si dovrebbe precisare il dispositivo di misura : p. es. la camera oscura descritta al § 23 p. II (1° met.) definisce una osservabile
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Se una delle osservazioni che servono a definire lo stato è una misura di energia, si ha uno di quegli stati che nel § 27, P. II abbiamo chiamato
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., sovrapponendo due stati stazionari col prendere come una combinazione lineare di due autofunzioni di Schrödinger, (v. § 29, p. II) si ha uno stato non
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Ricordando (v. nota al § 52, P. II) che l'espressione dell'energia in funzione delle q e delle p si è indicata genericamente con (q, p) e si è
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Ammetteremo ora che la del sistema soddisfi l'equazione seguente, generalizzazione dell'equazione temporale di Schrödinger, (v. (136) P. II):
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nucleo non è fisso come lo si è supposto al § 48 p. II : tale problema fu già trattato, dal punto di vista di Bohr e Sommerfeld, nel § 58, P. II. Esso
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sostituzione della massa m con la m' (leggermente inferiore): la dunque coinciderà con la della teoria svolta al § 46, P. II, purchè si sostituisca la massa
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formule che coincidono con quelle del cap. I, p. II, che definiscono il centro d'un pacchetto d'onde e il suo vettore di propagazione medio.
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meccanica ordinaria, principio che (limitato a pacchetti d'onde sufficientemente piccoli da potersi considerare puntiformi) ha costituito nella p. II il
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risultato che estende e precisa la «quantizzazione spaziale» della teoria di Sommerfeld (v. § 56 p. II).
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Questo risultato fu già enunciato nel § 46, p. II.
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Questa equazione non è altro che la (223') del § 46, p. II, cioè l'equazione differenziale delle funzioni sferiche ( corrisponde a ), e i suoi
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Per meglio chiarire la cosa, si consideri l'esempio dell'oscillatore lineare (v. § 39, p. II), e si supponga di averne misurato, al tempo t = 0
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difatti, come si è accennato al § 32, p. II, la radiazione emessa (o assorbita) nel passaggio dallo stato m allo stato n corrisponde qualitativamente
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Prendiamo il caso di un oscillatore armonico, di massa m e forza di richiamo — Kx, trattato con la meccanica ondulatoria al § 39, p. II, e
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che coincide con quella trovata meccanica ondulatoria al § 39, p. II.
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inserendovi per le autofunzioni le espressioni trovate nel § 39, p. II: tuttavia questo procedimento porterebbe a calcoli assai più lunghi di quelli
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movimento del nucleo, di cui si parlerà al § 58 p. II), P. es. lo ione He+ (Z = 2) presenta una serie detta di Pickering, data da
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il modulo della costante A si determinerà con la condizione di normalizzazione (v. § 10, p. II).
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in cui lo spin è parallelo all'asse z, la II invece al caso in cui lo spin è antiparallelo all'asse z: la soluzione più generale, che si ottiene
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In questo caso sono piccole rispetto a B (supposto ); e, ritenendole trascurabili, la soluzione I corrisponde allo spin parallelo all'asse z, la II
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Poichè, come si è visto al § 46, p. II, l'equazione di Schrödinger corrispondente a questo problema ammette soluzioni del tipo , dove è una funzione
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singolarità è accettabile purchè sia (v. § 28, p. II).
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Se si trascura il termine in si ritrova la ben nota espressione dei termini balmeriani, data dalla teoria di Schrödinger (v. § 48, p. II): si
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imperfezione del modello vettoriale: v. p. es. § 57, p. II).
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Accademia della crusca
